Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ln（x-1）}{x-2}$（x＞2）．
（Ⅰ） 判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）＜a對(duì)?x∈（2，+∞）均成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法1：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），構(gòu)造函數(shù)g（x）=（x-2）-（x-1）ln（x-1）（x＞2），利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可，
法2：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造函數(shù)$g（x）=\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）$（x≥2），求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷即可．
（Ⅱ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（Ⅰ） 解法1：$f'（x）=\frac{{\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）}}{{{{（x-2）}^2}}}$=$\frac{（x-2）-（x-1）ln（x-1）}{{（x-1）{{（x-2）}^2}}}$，-----------（2分）
記g（x）=（x-2）-（x-1）ln（x-1）（x＞2），g'（x）=-ln（x-1）＜0，----------（3分）
即g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（2）=0
從而f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞減．----------------------------（5分）
解法2：依題意得$f'（x）=\frac{{\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）}}{{{{（x-2）}^2}}}$，--------------------------------------------（2分）
記$g（x）=\frac{x-2}{x-1}-ln（x-1）$（x≥2）
則$g'（x）=\frac{1}{{{{（x-1）}^2}}}-\frac{1}{x-1}$=$\frac{2-x}{{{{（x-1）}^2}}}$，---------------------------------------------------------（3分）
∵x＞2∴g'（x）＜0，即函數(shù)g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（2）=0，從而得f'（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)遞減．--------------------------------------------------（5分）
（Ⅱ） 解法1：f（x）＜a對(duì)?x∈（2，+∞）均成立，
等價(jià)于ln（x-1）＜a（x-2）對(duì)?x∈（2，+∞）均成立，-------------------------------------（6分）
由y=ln（x-1）得$y'=\frac{1}{x-1}$，由此可得函數(shù)y=ln（x-1）的圖象在點(diǎn)（2，0）處的切線(xiàn)
為y=x-2，-----------------------------------------------------------------------------------------（7分）
（1）當(dāng)a＜1時(shí)，在（2，+∞）上，直線(xiàn)y=a（x-2）與函數(shù)y=ln（x-1）的圖象相交，不合題意；---（9分）
（2）當(dāng)a≥1時(shí)，在（2，+∞）上，直線(xiàn)y=a（x-2）在函數(shù)y=ln（x-1）的圖象的上方，符合題意---------------（11分）
綜上得：要使f（x）＜a對(duì)?x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．------------------------------（12分）
解法2：f（x）＜a對(duì)?x∈（2，+∞）均成立，
等價(jià)于ln（x-1）＜a（x-2）對(duì)?x∈（2，+∞）均成立---------------------------------------（5分）
記h（x）=ln（x-1）-a（x-2），則$h'（x）=\frac{1}{x-1}-a$=$\frac{1+a-ax}{x-1}$=$\frac{-a}{x-1}（x-\frac{a+1}{a}）$-------（6分）h（2）=0，令h'（x）=0得$x=\frac{1+a}{a}$，$\frac{a+1}{a}＞2?0＜a＜1$，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)?x∈（2，+∞），h'（x）＞0，即函數(shù)h（x）在（2，+∞）單調(diào)遞增，
故h（x）＞h（2）=0，即ln（x-1）-a（x-2）＞0，不符合題意；---------------------------（8分）
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)$?x∈（2，\frac{1+a}{a}）$，h'（x）＞0，
此時(shí)函數(shù)h（x）在$（2，\frac{1+a}{a}）$上為增函數(shù)，即ln（x-1）-a（x-2）＞0，不符合題意；-----（10分）
（3）當(dāng)a≥1時(shí)，對(duì)?x∈（2，+∞），有h'（x）＜0，函數(shù)h（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減，
因此ln（x-1）-a（x-2）＜h（2）=0，符合題意；
綜上得：要使f（x）＜a對(duì)?x∈（2，+∞）均成立，a∈[1，+∞）．------------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立問(wèn)題，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用參數(shù)分離法以及構(gòu)造法構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．