Question

18．已知復(fù)數(shù)z₁=m+（1-m²）•i（m∈R），z₂=cosθ+（λ+2sinθ）•i（λ，θ∈R）．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求z₁的虛部；
（2）若z₁=z₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將m代入，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)即可；
（2）利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，消去m，得到用sinθ表示的λ的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的有界性求范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=3時(shí)，z₁=3-8i虛部為-8； （4分）
（2）由z₁=z₂，得$\left\{\begin{array}{l}{m=cosθ}\\{1-{m}^{2}=λ+2sinθ}\end{array}\right.$．消去m可得λ=（sinθ-1）²-1．
由于-1≤sinθ≤1，可得-1≤λ≤0．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和參數(shù)范圍的求法；關(guān)鍵是用sinθ表示λ，借助于三角函數(shù)的有界性求范圍．