【題目】已知圓,圓,動圓與圓外切并與圓內切,圓心的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若雙曲線的右焦點即為曲線的右頂點,直線的一條漸近線.

.求雙曲線C的方程;

.過點的直線,交雙曲線兩點,交軸于點(點與的頂點不重合),當,且時,求點的坐標.

【答案】(1)(2)

【解析】

試題分析:(1)由兩圓相切可得到圓心距和半徑的關系,結合橢圓定義可知曲線為橢圓,進而可求得方程;(2)由曲線E的方程求得右頂點,從而得到曲線C的右焦點,結合漸近線可求得雙曲線中的,從而得到雙曲線方程由向量關系可求得的關系式,將直線方程及雙曲線聯(lián)立轉化為二次方程利用韋達定理得到,結合可求得的值

試題解析:(1)因為圓P與圓M外切并且與圓N內切,所以

………………………1分

由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點,長半軸長為2,短半軸長為

橢圓,3分 ( 求出給1分,求出得1分) 則此方程為.4分

(2)設雙曲線方程為,由橢圓,求得兩焦點為,

所以對于雙曲線…… 5分 為雙曲線的一條漸近線,

所以,解得, 6分 雙曲線的方程.…… 7分

(3)解法一:由題意知直線的斜率存在且不等于零.

的方程:,則,

,……… 8分

所以從而

在雙曲線上,,………………9分

.

同理有………………………10分

,則直線過頂點,不合題意,

是二次方程的兩根.

,……11分 此時.所求的坐標為.………… 12分

解法二:由題意知直線的斜率存在且不等于零

的方程:,則..,,,

8分

,,即,……9分

代入,得,………………10分

,否則與漸近線平行..………11分

,,.………………………12分

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