Question

已知遞增的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₅=32，a₃、a₄的等差中項(xiàng)為3a₂．
（1）求a_n的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

n

a2n-1

，求數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差中項(xiàng)的性質(zhì)，列出關(guān)于a₁、q的方程，求出a₁、q的值，代入a_n化簡；
（2）由（1）和題意化簡b_n，再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列b_n的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)遞增等比數(shù)列{a_n}首項(xiàng)、公比為a₁、q，且q＞0，
因?yàn)閍₅=32，a₃、a₄的等差中項(xiàng)為3a₂，
所以

a1q4=32 6a1q=a1q2+a1q3

，解得a₁=2、q=2，
則a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）由（1）得，b_n=

n

a2n-1

=

n

22n-1

，
所以T_n=

1

21

+

2

23

+

3

25

+…+

n

22n-1

，①

1

4

T_n=

1

23

+

2

25

+

3

27

+…+

n

22n+1

，②
①-②得

3

4

T_n=

1

21

+

1

23

+

1

25

+…+

1

22n-1

-

n

22n+1

=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

22n+1

=

2

3

-(

2

3

+

n

2

)•

1

22n

，
則T_n=

8

9

-

3n+4

9

•

1

22n-1

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，以及方程思想，考查化簡能力．