Question

19．已知向量$\overrightarrow{m}=（3sinx.\frac{\sqrt{3}}{2}cosx），\overrightarrow{n}=（cosx-\frac{\sqrt{3}}{2}sinx，3cosx）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并在給定的坐標(biāo)系中用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象；（須列表）
（Ⅱ）該函數(shù)的圖象由y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變化得到？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求函數(shù)解析式，列表，描點(diǎn)，連線即可用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)f（x）在[0，π]上的圖象；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=3sinxcosx-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin²x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$cos²x=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）…（3分）
令X=2x+$\frac{π}{3}$，則f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）=2sin X．
列表：

x	-$\frac{π}{6}$	0	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$	π
X	0	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{7π}{3}$
y=sinX	0	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）	0	$\frac{3\sqrt{3}}{2}$	2	0	-2	0	$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

…（6分）
描點(diǎn)畫(huà)圖：
 …（8分）
（2）法一：把y=sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象；再把y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；最后把y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象．
法二：將y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sin 2x的圖象；再將y=sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；再將y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的3倍（橫坐標(biāo)不變），即得到y(tǒng)=3sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查了“五點(diǎn)法”作圖，屬于中檔題．