Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是，左右頂點(diǎn)是，離心率是，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn))，且的周長(zhǎng)是，

直線(xiàn)與交于點(diǎn)M.

(1)求橢圓的方程；

(2)(ⅰ)求證直線(xiàn)與交點(diǎn)M在一條定直線(xiàn)l上；

(ⅱ)N是定直線(xiàn)l上的一點(diǎn)，且PN平行于x軸，證明：是定值．

Answer 1

【答案】(1)(2) (ⅰ)見(jiàn)證明；(ⅱ)見(jiàn)證明

【解析】

(1)由題意可得，可以求出，，從而求出橢圓的方程；(2)(ⅰ)由點(diǎn)斜式分別寫(xiě)出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達(dá)定理可得，的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而可以得到點(diǎn)M在一條定直線(xiàn)x＝2上；(ⅱ)由于，結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上，可以求出為定值。

(1)設(shè)橢圓的焦距是2c，

據(jù)題意有：，，，則，

所以橢圓的方程是.

(2) (ⅰ)由(1)知，，，

設(shè)直線(xiàn)PQ的方程是，

代入橢圓方程得：，

易知，

設(shè)，，，

則

，

直線(xiàn)的方程是： ①，

直線(xiàn)的方程是： ②，

設(shè)，既滿(mǎn)足①也滿(mǎn)足②，

則

，

故直線(xiàn)與交點(diǎn)M在一條定直線(xiàn)l：x＝2上.

(ⅱ)設(shè)，，，則，

∴.