【題目】已知邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC的邊AB、AC上分別有兩點(diǎn)D、E,DE//BC且DE=3,現(xiàn)將△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B,在空間中取一點(diǎn)F使得ADBF為平行四邊形,連接AC、FC得六面體ABCEDF,G是BC邊上動(dòng)點(diǎn).
(1)若EG//平面ACF,求CG的長(zhǎng);
(2)若G為BC中點(diǎn),求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.
【答案】(1)1;(2).
【解析】
(1)由平行四邊形可得AF//BD,則BD//平面ACF,再由平面ACF∩平面BCED=CH,可得BD//CH,同理EG//CH,則BD//EG,即可求解;
(2)取DE中點(diǎn)O,連接AO,OG(取BC中點(diǎn)G),以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OG,OE,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面AEG的法向量,取平面AED的一個(gè)法向量為,進(jìn)而利用數(shù)量積求解即可.
(1)設(shè)平面ACF與平面BCED的交線為CH(H在直線DE上),
∵ADBF為平行四邊形,∴AF//BD,
∵AF平面ACF,BD平面ACF,
∴BD//平面ACF,
又BD平面BCED, 平面ACF∩平面BCED=CH,∴BD//CH,
∵EG//平面ACF,EG平面BCED,平面ACF∩平面BCED=CH,∴EG//CH,
∴BD//EG,
∴是平行四邊形,
∴BG=DE=3,則CG=BC-BG=1
(2)取DE中點(diǎn)O,連接AO,OG(取BC中點(diǎn)G),則AO⊥DE,OG⊥DE,
又平面ADE⊥平面BCED,且平面ADE∩BCED=DE,∴AO⊥平面BCED,
以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以OG,OE,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,
則E(0,,0),A(0,0,),G(,0,0),
則,,
設(shè)平面AEG的法向量為,
由,取z=1,得,
取平面AED的一個(gè)法向量為,
∴,
∴二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值為.
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【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品,該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成,圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾,如圖1.為了便于設(shè)計(jì),可將該禮品看成是由圓O及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)而成,如圖2.已知圓O的半徑為,設(shè),,圓錐的側(cè)面積為(S圓錐的側(cè)面積(R-底面圓半徑,I-母線長(zhǎng)))
(1)求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了達(dá)到最佳觀賞效果,要求圓錐的側(cè)面積S最大.求S取得最大值時(shí)腰的長(zhǎng)度
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【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有五人分五錢,令上兩人所得與下三人等。問各得幾何?”其意思是:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五錢,甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊三人所得之和相等,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列。問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位)。這個(gè)問題中,戊所得為( )
A. 錢 B. 錢 C. 錢 D. 錢
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【題目】對(duì)于元集合,若元集合滿足,且.則稱是集合的一種“等和劃分”(與算是同一種劃分).試確定集合共有多少種等和劃分?
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【題目】設(shè)a為常數(shù),函數(shù)f(x)=x(lnx﹣1)﹣ax2,給出以下結(jié)論:(1)f(x)存在唯一零點(diǎn)與a的取值無關(guān);(2)若a=e﹣2,則f(x)存在唯一零點(diǎn);(3)若a<e﹣2,則f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn).其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.3B.2C.1D.0
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【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)是,左右頂點(diǎn)是,離心率是,過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q(不是左、右頂點(diǎn)),且的周長(zhǎng)是,
直線與交于點(diǎn)M.
(1)求橢圓的方程;
(2)(ⅰ)求證直線與交點(diǎn)M在一條定直線l上;
(ⅱ)N是定直線l上的一點(diǎn),且PN平行于x軸,證明:是定值.
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【題目】如圖,在正方體中,點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),平面交棱于點(diǎn).下列命題正確的為_______________.
①存在點(diǎn),使得//平面;
②對(duì)于任意的點(diǎn),平面平面;
③存在點(diǎn),使得平面;
④對(duì)于任意的點(diǎn),四棱錐的體積均不變.
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【題目】數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,1,2,,其相鄰的兩個(gè)1被2隔開,第對(duì)1之間有個(gè)2,則數(shù)列的前209項(xiàng)的和為( )
A. 279 B. 289 C. 399 D. 409
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【題目】已知曲線C:x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0,其中k≠-1.
(1)求證:曲線C都表示圓,并且這些圓心都在同一條直線上;
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(3)若曲線C與x軸相切,求k的值.
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