Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x，y=f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 利用不等式恒成立的條件，把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題解決

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x，
∴f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∴h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，h（x）=2ln（1-x）
此時(shí)不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，
則有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
則有-1＜t＜0，
∴t的取值范圍是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和恒成立的問(wèn)題，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．