Question

6．已知雙曲線$\frac{x^2}{16}$-$\frac{y^2}{20}$=1，橢圓C以雙曲線的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P（${\frac{3}{2}$，$\frac{{5\sqrt{3}}}{2}}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

分析 （1）依題意得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4，0），利用P在橢圓上，求出a，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）由（1）知A（-6，0），B（6，0），直線AP的方程為x-$\sqrt{3}y$+6=0，設(shè)點(diǎn)M（m，0），由題意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$，由此能求出當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，d取得最小值．

解答 解：（1）依題意得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4，0），
∵P在橢圓上，
∴2a=$\sqrt{（\frac{3}{2}-4）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（\frac{3}{2}+4）^{2}+（\frac{5\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=12
解得a=6，b²=20，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．
（2）由（1）知A（-6，0），B（6，0），
∴直線AP的方程為x-$\sqrt{3}$y+6=0，
設(shè)點(diǎn)M（m，0），由題意得$\frac{|m+6|}{2}=|m-6|$，
又-6≤m≤6，
∴m=2，∴$rjhbxpr^{2}=（x-2）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}-4x+4+20-\frac{5}{9}{x}^{2}=\frac{4}{9}（x-\frac{9}{2}）^{2}+15$，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，d取得最小值$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．