Question

5．已知函數(shù)f（x）=a（x²+1）+2lnx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若對任意a∈（-2，-1）及x∈[1，3]，總有am-$\frac{1}{a}$f（x）＜a²成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可；
（Ⅱ）由題意得恒有ma-f（x）＞a²成立，等價于ma-a²＞f（x）_max，利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=2ax+$\frac{2}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}+2}{{x}^{2}}$，（x＞0），
①當a≥0時，恒有f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當a＜0時，當0＜x＜$\sqrt{-\frac{1}{a}}$時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）上是增函數(shù)；
當x＞$\sqrt{-\frac{1}{a}}$時，f′（x）＜0，則f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）上是減函數(shù)，
綜上，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當a＜0時，f（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{a}}$）上是增函數(shù)，f（x）在（$\sqrt{-\frac{1}{a}}$，+∞）上是減函數(shù)．
（Ⅱ）由題意知對任意a∈（-4，-2）及x∈[1，3]時，
恒有ma-f（x）＞a²成立，等價于ma-a²＞f（x）_max，
因為a∈（-4，-2），所以$\frac{1}{2}$＜$\sqrt{-\frac{1}{a}}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜1，
由（Ⅰ）知：當a∈（-4，-2）時，f（x）在[1，3]上是減函數(shù)
所以f（x）_max=f（1）=2a，
所以ma-a²＞2a，即m＜a+2，
因為a∈（-4，-2），所以-2＜a+2＜0
所以實數(shù)m的取值范圍為m≤-2

點評 本題主要考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性及求函數(shù)的最值知識，考查恒成立問題的等價轉化思想及分類討論思想的運用能力，屬難題．