Question

3．如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā)，按字母順序D→A→B→C沿線段DA，AB，BC運(yùn)動到C點(diǎn)，在此過程中$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CD}$的最大值是（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． -1

Answer 1

分析 建系，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，分類討論，結(jié)合點(diǎn)E的運(yùn)動，即可求出最大值．

解答 解：以BC、BA所在直線為x軸、y軸，建立坐標(biāo)系如圖
可得A（0，1），B（0，0），C（1，0），D（1，1），
當(dāng)E在DA上，設(shè)E（x，1），其中0≤x≤1
∵$\overrightarrow{DE}$=（x-1，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CD}$=0，
當(dāng)E在AB上，設(shè)E（0，y），其中0≤y≤1
∵$\overrightarrow{DE}$=（-1，y-1），$\overrightarrow{CD}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CD}$=y-1，（0≤y≤1），此時最大值為0，
當(dāng)E在BC上，設(shè)E（x，0），其中0≤x≤1
∵$\overrightarrow{DE}$=（x-1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CD}$=-1，
當(dāng)E在CD上，設(shè)E（1，y），其中0≤y≤1
∵$\overrightarrow{DE}$=（0，y-1），$\overrightarrow{CD}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CD}$=y-1，（0≤y≤1），此時最大值為0，
綜上所述$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{CD}$的最大值是0，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查向量數(shù)量積的最大值，建立坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．