Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，x∈[0，1]，其中a＞0，b為任意常數(shù)．若函數(shù)f（x）的最大值是a-b，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 由二次函數(shù)的性質(zhì)可得二次函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b的圖象開口向上，且其對稱軸為x=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{a}$，從而可得|1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{a}$）|≥|0-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{a}$）|，從而解得．

解答 解：∵f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，
∴f（1）=3a-2（a+b）+b=a-b，
又∵函數(shù)f（x）的最大值是a-b，
函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b在x=1處取得最大值，
又∵a＞0，
∴二次函數(shù)f（x）=3ax²-2（a+b）x+b的圖象開口向上，
且其對稱軸為x=$\frac{a+b}{3a}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{a}$，
∴|1-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{a}$）|≥|0-（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$$\frac{a}$）|，
即$\frac{a}$≤$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．