Question

10．已知公比不為1的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₆=$\frac{63}{32}$，且-a₂，a₄，3a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=na_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q≠1），由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得q，再由等比數(shù)列的求和公式解得首項(xiàng)為1，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；
（2）求得b_n=na_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，由數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡可得所求和．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q（q≠1），
由-a₂，a₄，3a₃成等差數(shù)列，可得2a₄=-a₂+3a₃，
即有2a₁q³=-a₁q+3a₁q²，
即2q²-3q+1=0，
解得q=$\frac{1}{2}$（q=1舍去），
由S₆=$\frac{63}{32}$，可得$\frac{{a}_{1}（1-\frac{1}{{2}^{6}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{63}{32}$，
解得a₁=1，
則有a_n=a₁q^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）b_n=na_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
前n項(xiàng)和T_n=1•1+2•$\frac{1}{2}$+3•$\frac{1}{4}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）^n-1，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{4}$+3•$\frac{1}{8}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
兩式相減可得，$\frac{1}{2}$T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+（$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化簡可得前n項(xiàng)和T_n=4-（2n+4）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．