Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，四邊形是菱形， ， ，且， 交于點(diǎn)， 是上任意一點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）已知二面角的余弦值為，若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）線線垂直問題轉(zhuǎn)化為線面問題即可解決，即 ，由平面，得，又分析可知，且，所以（2）解法1：（空間向量在立體幾何中的應(yīng)用）設(shè)與平面所成的角為，即與平面所成角為與平面的法向量所成角，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則， ，

平面的一個(gè)法向量為（1,0,0），，得到

再由二面角的余弦值為， ，解得，

故， ，最后求得；

解法2：通過構(gòu)造法作出二面角的平面角,

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角,

由，求出點(diǎn)到平面的距離

試題解析：（1）因?yàn)?/span>平面，所以， 1分

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以2分

又

因?yàn)?/span>5分

（2）解法1:

連接在中，

所以分別以所在直線為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)則， ． 6分

由（1）知，平面的一個(gè)法向量為（1,0,0）， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則得，令，得8分

因?yàn)槎�面�?/span>的余弦值為，所以，

解得或（舍去），所以10分

設(shè)與平面所成的角為．因?yàn)?/span>， ，

∴

所以與平面所成角的正弦值為． 12分

解法2:

設(shè)DP=t， 作出二面角的平面角

由，求出點(diǎn)到平面的距離

．