Question

12．已知函數(shù)f（x）=ax²+b|x-1|，其中a，b∈（-4，4）且a≠0．當(dāng)a∈（0，4），b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)f（x）=ax²+|x-1|，從而討論去絕對(duì)值號(hào)，再討論確定函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，從而求最小值．

解答 解：當(dāng)a∈（0，4），b=1時(shí)，
f（x）=ax²+|x-1|，
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=ax²+x-1，
故f（x）在（1，2]上是增函數(shù)；
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=ax²-x+1
=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+1-$\frac{1}{4a}$；
當(dāng)0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{1}{2a}$，1]單調(diào)遞增；
結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，
f_min（x）=f（$\frac{1}{2a}$）=1-$\frac{1}{4a}$；
當(dāng)$\frac{1}{2a}$≥1，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，
f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，
f_min（x）=f（1）=a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想方法應(yīng)用，屬于中檔題．