Question

已知直線l垂直平面a，垂足為O，在矩形ABCD中AD=1，AB=2，若點(diǎn)A在l上移動(dòng)，點(diǎn)B在平面a上移動(dòng)，則O、D兩點(diǎn)間的最大距離為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：先將原問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OB為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)∠ABO=θ，D（x，y），D、O兩點(diǎn)間的最大距離表示成2

2

sin（2θ-

π

4

）+3，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值即可．

解答： 解：將原問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的最大距離問題解決，AD=1，AB=2，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為y軸，OB為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖．
設(shè)∠ABO=θ，D（x，y），則有：
x=ADsinθ=sinθ，
y=ABsinθ+ADcosθ
=cosθ+2sinθ，
∴x²+y²=sin²θ+cos²θ+4sinθcosθ+4sin²θ．
=-2cos2θ+2sin2θ+3
=2

2

sin（2θ-

π

4

）+3，
當(dāng)sin（2θ-

π

4

）=1時(shí)，x²+y²最大，為2

2

+3，
則D、O兩點(diǎn)間的最大距離為1+

2

．
故答案為：1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，解答關(guān)鍵是將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決，利用三角函數(shù)的知識(shí)求最大值