Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數(shù)．可得f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，化簡(jiǎn)解出即可；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可證明．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

ex-1

aex+1

是奇函數(shù)．
∴f（-x）+f（x）=

e-x-1

ae-1+1

+

ex-1

aex+1

=0，
化為（1-a）（e^x-1）²=0，
∴1-a=0，
解得a=1．
∴f（x）=

ex-1

ex+1

．
經(jīng)過驗(yàn)證a=1時(shí)，函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)．
（2）f（x）=1-

2

ex+1

．
函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
證明：?x₁＜x₂，0＜ex1＜ex2．
則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

ex1+1

-(1-

2

ex2+1

)
=

2(ex1-ex2)

(ex1+1)(ex2+1)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．