Question

3．記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若存在實數(shù)M＞0，使得對任意的n∈N^*，都有|S_n|＜M，則稱數(shù)列{a_n}為“和有界數(shù)列”．下列命題正確的是（　�。�

• A． 若{a_n}是等差數(shù)列，且首項a₁=0，則{a_n}是“和有界數(shù)列”
• B． 若{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=0，則{a_n}是“和有界數(shù)列”
• C． 若{a_n}是等比數(shù)列，且公比|q|＜1，則{a_n}是“和有界數(shù)列”
• D． 若{a_n}是等比數(shù)列，且{a_n}是“和有界數(shù)列”，則{a_n}的公比|q|＜1

Answer 1

分析 求出等差數(shù)列的前n項和公式，取d＞0即可判斷A錯誤；舉例首項不為0判斷B錯誤；求出等比數(shù)列的前n項和，由絕對值不等式證明C正確；舉例說明D錯誤．

解答 解：對于A，若{a_n}是等差數(shù)列，且首項a₁=0，當d＞0時，${S}_{n}=\frac{n（n-1）d}{2}=\frac{d{n}^{2}}{2}-\frac{dn}{2}$，當n→+∞時，|S_n|→+∞，
則{a_n}不是“和有界數(shù)列”，故A錯誤；
對于B，若{a_n}是等差數(shù)列，且公差d=0，S_n=na₁，當a₁≠0時，當n→+∞時，|S_n|→+∞，
則{a_n}不是“和有界數(shù)列”，故B錯誤；
對于C，若{a_n}是等比數(shù)列，且公比|q|＜1，${S}_{n}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=\frac{{a}_{1}}{1-q}-\frac{{a}_{1}}{1-q}{q}^{n}$，|S_n|=|$\frac{{a}_{1}}{1-q}-\frac{{a}_{1}}{1-q}{q}^{n}$|＜|$\frac{{a}_{1}}{1-q}$|+|$\frac{{a}_{1}}{1-q}{q}^{n}$|$＜2|\frac{{a}_{1}}{1-q}|$．
則{a_n}是“和有界數(shù)列”，故C正確；
對于D，若{a_n}是等比數(shù)列，且{a_n}是“和有界數(shù)列”，則{a_n}的公比|q|＜1或q=-1，故D錯誤．
故選：C．

點評 本題是新定義題，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的應用，對題意的理解是解答此題的關(guān)鍵，屬中檔題．