Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₂=6，S₅=45；數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，且T_n-2b_n+3=0．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\left\{\begin{array}{l}{_{n}，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n．

Answer 1

分析 （1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₂=6，S₅=45；利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=45}\end{array}\right.$，解得a₁=d即可得出．由T_n-2b_n+3=0．
n=1時，b₁-2b₁+3=0，解得b₁．n≥2時，T_n-1-2b_n-1+3=0，可得：b_n=2b_n-1，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由c_n=$\left\{\begin{array}{l}{_{n}，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，可得c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．對n分類討論，分組求和，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₂=6，S₅=45；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=6}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=45}\end{array}\right.$，解得a₁=d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵T_n-2b_n+3=0．
∴n=1時，b₁-2b₁+3=0，解得b₁=3．
n≥2時，T_n-1-2b_n-1+3=0，可得：b_n-2b_n+2b_n-1=0，化為b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為3，公比為2．
∴b_n=3×2^n-1．
（2）∵c_n=$\left\{\begin{array}{l}{_{n}，n為奇數(shù)}\\{{a}_{n}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3×{2}^{n-1}，n為奇數(shù)}\\{3n，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．
∴n=2k（k∈N^*）為偶數(shù)時，數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（a₂+a₄+…+a_n）=$\frac{3×（{4}^{\frac{n}{2}}-1）}{4-1}$+$\frac{\frac{n}{2}（6+3n）}{2}$=2ⁿ-1+$\frac{3}{4}{n}^{2}$+$\frac{3}{2}$n．
n=2k-1（k∈N^*）為奇數(shù)時，數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n=Q_n+1-a_n+1=2ⁿ⁺¹-1$+\frac{3}{4}×（n+1）^{2}$+$\frac{3}{2}（n+1）$-3（n+1）=2ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}{n}^{2}$$-\frac{7}{4}$．
∴Q_n=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{n}-1+\frac{3}{4}{n}^{2}+\frac{3}{2}n，n為偶數(shù)}\\{{2}^{n+1}+\frac{3}{4}{n}^{2}-\frac{7}{4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．