Question

16．已知集合A={x|1≤x≤6}，關(guān)于x的二次方程：$\frac{1}{4}$x²+$\sqrt$x+2c=0．
請(qǐng)回答下列問題：
（Ⅰ）若b，c∈A，且c，c∈Z，求該二次方程有解的概率；
（Ⅱ）若b，c∈A，求該二次方程有解的概率．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)判別式△≥0得出一元二次方程有實(shí)根的條件b≥2c，由b，c∈{1，2，3，4，5，6}，列出基本事件數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率即可；
（II）利用幾何概型求出對(duì)應(yīng)的概率即可．

解答 解：（Ⅰ）要使得關(guān)于x的二次方程：$\frac{1}{4}$x²+$\sqrt$x+2c=0有解，
只要△≥0，即要b-2c≥0，
即b≥2c，
又∵b，c∈A，且c，c∈Z，
∴b，c∈{1，2，3，4，5，6}，
∴（b，c）的所有可能的取值情況種數(shù)為25種，
∴滿足條件的（b，c）的所有可能的取值情況為：（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6.2），（6，3）
∴該二次方程有解的概率為$\frac{9}{25}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，本概率模型下的總測(cè)度為：
平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{1≤b≤6}\\{1≤c≤6}\end{array}\right.$所圍成的正方形的面積，
使得該二次方程有解的不等式為b≥2c，
則本概率模型的有效測(cè)度為直線b=2c與此正方形所圍成的
三角形的面積（如圖中陰影部分），
易知：正方形的面積為25，三角形的面積為4，
∴P=$\frac{4}{25}$為所求的概率．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用列舉法求古典概型的概率問題，也考查了幾何概型的應(yīng)用問題，是中檔題．