Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x-1}{x}$-lnx．
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x-1＜xlnx；
（3）設(shè)c∈（0，1），證明：當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，1+（c-1）x＞c^x．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由（1）知，f（x）＜f（1）=0，即$\frac{x-1}{x}$-lnx＜0，即可證明；
（3）要證原式，即證：1+（c-1）x-c^x＞0，利用構(gòu)造法進(jìn)行證明．

解答 （1）解：定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
 由f′（x）＞0得x＜1，故遞增區(qū)間為（0，1）；
（2）證明：由（1）知，f（x）＜f（1）=0，即$\frac{x-1}{x}$-lnx＜0，
∴x-1＜xlnx；
（3）要證原式，即證：1+（c-1）x-c^x＞0
令g（x）=1++（c-1）x-c^x，x∈（0，1），c∈（0，1），
則g′（x）=c-1-c^xlnc
令h（x）=c-1-c^xlnc，則h′（x）=-c^x（lnc）²，
故h（x）在（0，1）遞減  
而h（0）=c-1-lnc
令p（x）=x-1-lnx，x∈（0，1），則p′（x）=$\frac{x-1}{x}$＜0
故p（x）在（0，1）遞減，故p（x）＞p（1）=0，∴x-1-lnx＞0，
故h（0）＞0．
由（2）知h（1）=c-1-clnc＜0，
∴h（x）在（0，1）存在唯一零點(diǎn)x₀，
∴g（x）在（0，x₀）遞增，（x₀，1）遞減，而g（0）=g（1）=0，
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，故本題得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確運(yùn)用構(gòu)造法是關(guān)鍵．