分析 (1)連接BD1,由EF為中位線,得EF∥D1B,由此能證明EF∥平面ABC1D1.
(2)推導(dǎo)出四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的半徑R=2,求出AA1=2$\sqrt{2}$,推導(dǎo)出EF⊥A1E,A1C1⊥EF,由此能證明EF⊥平面EA1C1.
解答 證明:(1)連接BD1,在△DD1B中,E,F(xiàn)分別為線段DD1,BD的中點,
∴EF為中位線,
∴EF∥D1B,而D1B?面ABC1D1,EF?面ABC1D1,
∴EF∥平面ABC1D1.
(2)∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面積為16π,
∴四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球的半徑R=2,
設(shè)AA1=a,則$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+4+4}$=2,解得a=2$\sqrt{2}$,
∵AB=2,∴EF2=4,${A}_{1}{E}^{2}$=6,${A}_{1}{F}^{2}$=10,
∴$E{F}^{2}+{A}_{1}{E}^{2}$=${A}_{1}{F}^{2}$,即EF⊥A1E,
∵A1C1⊥平面1D1D,∴A1C1⊥EF,
又A1C1∩A1E=A1,∴EF⊥平面EA1C1.
點評 本題考查線面平行、線面垂直的證明,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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A. | x-y-6=0 | B. | x+y+6=0 | C. | x-y+6=0 | D. | x+y-6=0 |
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A. | 設(shè)平面ADF與平面BEC1的交線為l,則直線C1E與l相交 | |
B. | 在棱A1C1上存在點N,使得三棱錐N-ADF的體積為$\frac{\sqrt{3}}{7}$ | |
C. | 設(shè)點M在BB1上,當(dāng)BM=1時,平面CAM⊥平面ADF | |
D. | 在棱A1B1上存在點P,使得C1P⊥AF |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 8 |
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