Question

在△ABC中，已知sinA=

1

5

，sinB=

1

10

，則其最長邊與最短邊的比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：由題意和正弦定理得A＞B，討論A為鈍角和銳角時，由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式求得sinB，再由角的正弦大小關(guān)系判斷出角的大小關(guān)系，從而確定最大邊和最小邊，再利用正弦定理求出比值．

解答： 解：由

1

5

＞

1

10

得，sinA＞sinB，
由正弦定理可得a＞b，則A＞B，
所以B為銳角，A可能為銳角或鈍角，
①若A為鈍角，則cosA=-

1-sin2A

=-

2 6

5

，
cosB=

1-sin2B

=

3 10

10

，
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

5

×

3 10

10

+(-

2 6

5

)×

1

10

=

3 10 -2 6

50

＜

1

10

，
由sinB＞sinC，即有b＞c，即c最小，a最大，
所以a：c=sinA：sinC=

1

5

：

3 10 -2 6

50

=5(3

10

+2

6

)：33；
②若A為銳角，則cosA=

2 6

5

，cosB=

3 10

10

，
則sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=

1

5

×

3 10

10

+

2 6

5

×

1

10

=

3 10 +2 6

50

＞

1

5

，
由sinC＞sinA＞sinB，則有c最大，b最�。�
則c：b=sinC：sinB=

3 10 +2 6

50

：

1

10

=(3

10

+2

6

)：5，
故答案為：5(3

10

+2

6

)：33或(3

10

+2

6

)：5．

點(diǎn)評：本題考查正弦定理，兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，邊角關(guān)系，考查化簡計算能力，屬于中檔題和易錯題．