Question

正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB，C₁D₁的中點(diǎn)，則A₁B₁與面A₁EF所成角的正切值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：說(shuō)明∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．然后解三角形，求A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值．

解答： 解：連接C₁B，∵E、F分別為AB與C₁D₁的中點(diǎn)，
∴C₁F=BE．又C₁F∥BE，
∴C₁FEB為平行四邊形．∴C₁B∥EF．而C₁B⊥B₁C，
∴EF⊥B₁C．又四邊形A₁ECF是菱形，∴EF⊥A₁C．∴EF⊥面A₁B₁C．
又EF?平面A₁ECF，
∴平面A₁B₁C⊥平面A₁ECF．∴B₁在平面A₁ECF上的射影在線(xiàn)段A₁C上．
∴∠B₁A₁C就是A₁B₁與平面A₁ECF所成的角．
∵A₁B₁⊥B₁C，在Rt△A₁B₁C中，tan∠B₁A₁C=

B1C

A1B1

=

2

．
∴A₁B₁與平面A₁ECF所成角的正切值為

2

．
故答案為：

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與平面所成的角，直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．