Question

4．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1．若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有 $\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)；
（2）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）＞f（2x-1）；
（3）若f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明：在區(qū)間[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函數(shù)為奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件中的分式，可以證得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以函數(shù)f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)．
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x的不等式組，解得即可，
（3）根據(jù)函數(shù)f（x）≤m²-2am+1對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，說明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數(shù)，m為參數(shù)系數(shù)，解不等式組，即可得出m的取值范圍．

解答 解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，f（x）是奇函數(shù)
則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}$（x₁-x₂）
∵$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0，即$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+（-{x}_{2}）}$＞0，
∵x₁+（-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
則f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)． 
（2）f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}＜2x-1}\\{-1＜x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤2x-1＜1}\end{array}\right.$，
解得0≤x≤$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集為[0，$\frac{1}{2}$]，
（3）∵f（x）是[-1，1]上的增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（1）=1，
∴m²-2am+1≥1對(duì)所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
即m²-2am≥0恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，0≥0成立，
當(dāng)m≠0時(shí)，令g（a）=-2ma+m²，g（a）是關(guān)于a∈[-1，1]的一次函數(shù)，
只須$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=-2m+{m}^{2}≥0}\\{g（-1）=2m+{m}^{2}≥0}\end{array}\right.$，
解得m≤-2或m≥2或m=0
綜上所述m=0，或m≤-2或m≥2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的值域、不等式恒成立等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題，解題時(shí)應(yīng)該注意題中的主元與次元的處理．