Question

19．如圖，矩形ABCD和直角三角形ABP有共同的邊AB，且PA=AD=3，DC=4，沿BD把平面DBP折起，使AC=$\sqrt{7}$．
（1）求證：PD⊥BC；
（2）求PC與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥PC，利用BC⊥CD，PC∩CD=C，證明BC⊥平面PCD，即可證明結(jié)論；
（2）利用等體積方法求出C到平面PBD的距離，即可求PC與平面PBD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：由題意，AD=3，AC=$\sqrt{7}$，CD=4，
∴AD²+AC²=CD²，
∴CA⊥PD，
∴PC=CD=4，
∵BC=3，PB=5，
∴BC²+PC²=PB²，
∴BC⊥PC，
∵BC⊥CD，PC∩CD=C，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴BC⊥PD；
（2）解：由（1）可知${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}$=$\frac{3\sqrt{7}}{2}$，
∴${V}_{P-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=3$\sqrt{7}$，
設(shè)C到平面PBD的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×6×4×h$=3$\sqrt{7}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
∵PC=4，
∴PC與平面PBD所成角的正弦值為$\frac{\frac{3\sqrt{7}}{8}}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{32}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．