Question

15．分別求下列函數(shù)的最值：
（1）y=2x²-12x+21；
（2）y=（1-x）（x+2）；
（3）y=3-$\sqrt{5x-3{x}^{2}-2}$；
（4）y=$\frac{1}{1-x（1-x）}$；
（5）y=x⁴-3x²+2．

Answer 1

分析 （1），（2），（5），直接配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值，
（3）設t=5x-3x²-2，求出$\sqrt{5x-3{x}^{2}-2}$的范圍，即可求出最值，
（4）設t=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，即可求出最值．

解答 解（1）y=2x²-12x+21=2（x-3）²+3，故最小值為3，無最大值，
（2）y=（1-x）（x+2）=-（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，故最大值為$\frac{9}{4}$，無最小值，
（3）y=3-$\sqrt{5x-3{x}^{2}-2}$，
設t=5x-3x²-2，
則t=5x-3x²-2≥0，解得$\frac{2}{3}$≤x≤1，
當x=1或$\frac{2}{3}$時，有最大值，最大值為3，
當x=$\frac{5}{6}$時，t的最大值為$\frac{1}{12}$，
所以y的最小值為3-$\sqrt{\frac{1}{12}}$=3-$\frac{\sqrt{3}}{6}$
（4）y=$\frac{1}{1-x（1-x）}$=$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$，
設t=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$≥$\frac{3}{4}$，
故y的最大值為$\frac{4}{3}$，無最小值，
（5）y=x⁴-3x²+2=（x²-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$≥-$\frac{1}{4}$，
故y的最大值為-$\frac{1}{4}$

點評 本題考查了函數(shù)的最值的問題，關鍵時掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．