Question

12．曲線y=ln（2x-1）上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 3$\sqrt{5}$
• D． 0

Answer 1

分析 設(shè)與曲線y=ln（2x-1）相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為：2x-y+m=0，設(shè)切點為（x₀，y₀），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：y=ln（2x-1）的導(dǎo)函數(shù)為y′=$\frac{2}{2x-1}$，
設(shè)與曲線y=ln（2x-1）相切且與直線2x-y+3=0平行的直線方程為：2x-y+m=0，
設(shè)切點為（x₀，y₀）
∴$\frac{2}{2{x}_{0}-1}$=2，解得x₀=1，
∴y₀=ln（2x₀-1）=ln1=0，
∴切點為（1，0）
∴切點（1，0）到直線2x-y+3=0的距離為$\frac{|2+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
即曲線y=ln（2x-1）上的點到直線2x-y+3=0的最短距離是$\sqrt{5}$．
故選：A．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．