Question

4．一副三角板拼成一個四邊形ABCD，如圖，然后將它沿BC折成直二面角．

（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求AD與BC所成的角的正切值；
（3）求二面角A-BD-C的大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面ABD⊥平面ACD；
（2）根據(jù)異面直線所成角的定義進行轉(zhuǎn)化即可求AD與BC所成的角的正切值；
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角即可求二面角A-BD-C的大小的正切值．

解答 （1）證明：取BC中點E，連結(jié)AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD，∴AE⊥平面BCD，
∵BC⊥CD，由三垂線定理知AB⊥CD．
又∵AB⊥AC，∴AB⊥平面BCD，∵AB?平面ABD．
∴平面ABD⊥平面ACD．
（2）解：在面BCD內(nèi)，過D作DF∥BC，過E作EF⊥DF，交DF于F，由三垂線定理知AF⊥DF，∠ADF為AD與BC所成的角．
設(shè)AB=m，則BC=$\sqrt{2}$m，CE=DF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m，CD=EF=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$m∴$tanADF=\frac{AF}{DF}=\frac{{\sqrt{A{E^2}+E{F^2}}}}{DF}=\frac{{\sqrt{21}}}{3}$，
即AD與BC所成的角的正切值為$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．
（3）解：∵AE⊥面BCD，過E作EG⊥BD于G，連結(jié)AG，由三垂線定理知AG⊥BD，
∴∠AGE為二面角A-BD-C的平面角

∵∠EBG=30°，BE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m，∴EG=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$m
又AE=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$m，∴tanAGE=$\frac{AE}{GE}$=2，即二面角A-BD-C的大小的正切值為2．

點評 本題主要考查面面垂直的判斷以及空間二面角和異面直線所成角的求解，根據(jù)空間角的定義進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．