Question

15．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{alnx-{x}^{2}-2（x＞0）}\\{x+\frac{1}{x}+a（x＜0）}\end{array}$的最大值為f（-1），則實數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． [0，2e²]
• B． [0，2e³]
• C． （0，2e²]
• D． （0，2e³]

Answer 1

分析 求得f（-1），由題意可得alnx-x²-2≤-2+a在x＞0恒成立，討論x的范圍，分x=e，0＜x＜e，x＞e，運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求得導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值，進而得到a的范圍．

解答 解：由f（-1）=-2+a，可得alnx-x²-2≤-2+a在x＞0恒成立，
即為a（1-lnx）≥-x²，
當x=e時，0＞-e²顯然成立；
當0＜x＜e時，有1-lnx＞0，可得a≥$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，0＜x＜e，
g′（x）=$\frac{2x（lnx-1）-x}{（lnx-1）^{2}}$=$\frac{x（2lnx-3）}{（lnx-1）^{2}}$，
由0＜x＜e時，2lnx＜2＜3，則g′（x）＜0，g（x）在（0，e）遞減，
且g（x）＜0，
可得a≥0；
當x＞e時，有1-lnx＜0，可得a≤$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{x}^{2}}{lnx-1}$，x＞e，
g′（x）=$\frac{2x（lnx-1）-x}{（lnx-1）^{2}}$=$\frac{x（2lnx-3）}{（lnx-1）^{2}}$，
由e＜x＜e${\;}^{\frac{3}{2}}$時，g′（x）＜0，g（x）在（e，e${\;}^{\frac{3}{2}}$）遞減，
由x＞e${\;}^{\frac{3}{2}}$時，g′（x）＞0，g（x）在（e${\;}^{\frac{3}{2}}$，+∞）遞增，
即有g(shù)（x）在x=e${\;}^{\frac{3}{2}}$處取得極小值，且為最小值2e³，
可得a≤2e³，
綜上可得0≤a≤2e³．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法和應用，注意運用參數(shù)分離和分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，求出導數(shù)和最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．