Question

3．若函數f（x）=sin（2x+φ）滿足對一切x∈R，都有f（x）≥f（$\frac{π}{6}$）成立，則下列關系式中不成立的是（　�。�

• A． f（-$\frac{π}{12}$）=0
• B． f（$\frac{π}{12}$）+f（$\frac{3π}{4}$）=0
• C． f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{2π}{3}$）
• D． f（0）＞f（-$\frac{5π}{12}$）

Answer 1

分析 由題意可得，當x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值，由此求得φ的值，可得函數的解析式，再利用誘導公式、特殊角的三角函數的值，判斷各個選項中的不等式是否正確，從而得出結論．

解答 解：∵函數f（x）=sin（2x+φ）滿足對一切x∈R，都有f（x）≥f（$\frac{π}{6}$）成立，
∴當x=$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值，即2•$\frac{π}{6}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=2kπ-$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
故可取φ=-$\frac{5π}{6}$，此時，k=0，為整數，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{5π}{6}$）．
∴f（-$\frac{π}{12}$）=sin（-π）=-sinπ=0，故A成立；
∵f（$\frac{π}{12}$）=sin（-$\frac{2π}{3}$）=-sin$\frac{2π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{3π}{4}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴f（$\frac{π}{12}$）+f（$\frac{3π}{4}$）=0，故B成立；
又 f（$\frac{2π}{3}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴f（$\frac{π}{12}$）＜f（$\frac{2π}{3}$），故C成立；
f（0）=sin（-$\frac{5π}{6}$）=-sin$\frac{5π}{6}$=-$\frac{1}{2}$，f（-$\frac{5π}{12}$）=sin0=0，故f（0）＞f（-$\frac{5π}{12}$）不成立，
故選：D．

點評 本題主要考查正弦函數的最小值，特殊角的三角函數的值，誘導公式，屬于基礎題．