Question

20．過(guò)直線y=2x上一點(diǎn)P作圓M：${（x-3）^2}+{（y-2）^2}=\frac{4}{5}$的兩條切線l₁，l₂，A，B為切點(diǎn)，當(dāng)直線l₁，l₂關(guān)于直線y=2x對(duì)稱(chēng)時(shí)，則∠APB等于（　�。�

• A． 30°
• B． 45°
• C． 60°
• D． 90°

Answer 1

分析 連接PM、AM，根據(jù)圓的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)，得當(dāng)切線l₁，l₂關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)時(shí)，直線l⊥PM，且PM平分∠APB．因此計(jì)算出圓的半徑和點(diǎn)M到直線l的距離，在Rt△PAM中利用三角函數(shù)定義算出∠APM的度數(shù)，從而得到∠APB的度數(shù)．

解答 解：連接PM、AM，可得當(dāng)切線l₁，l₂關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)時(shí)，
直線l⊥PM，且射線PM恰好是∠APB的平分線，
∵圓M的方程為（x-3）²+（y-2）²=$\frac{4}{5}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，2），半徑r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
點(diǎn)M到直線l：2x-y=0的距離為PM=$\frac{|2×3-2|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
由PA切圓M于A，得Rt△PAM中，sin∠APM=$\frac{AM}{PM}$=$\frac{1}{2}$，
得∠APM=30°，
∴∠APB=2∠APM=60°．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題在直角坐標(biāo)系中給出圓的兩條切線關(guān)于已知直線對(duì)稱(chēng)，求它們之間所成的角，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系和軸對(duì)稱(chēng)等知識(shí)，屬于中檔題．