Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³+x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性與奇偶性，（不用證明結(jié)論）．
（2）若f（cosθ-m）+f（msinθ-2）＜0對(duì)θ∈R恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+x在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)．
（2）由f（cosθ-m）+f（msinθ-2）＜0得f（cosθ-m）＜-f（msinθ-2），
∵f（x）為奇函數(shù)，∴不等式等價(jià)為f（cosθ-m）＜f（2-msinθ），
∵f（x）為增函數(shù)，∴不等式等價(jià)為f（cosθ-m）＜f（2-msinθ）等價(jià)為cosθ-m＜2-msinθ，
即cosθ-2＜m（1-sinθ），
當(dāng)sinθ=1，則不等式等價(jià)為即cosθ-2＜0，即即cosθ＜2成立，
當(dāng)sinθ＜1，則不等式等價(jià)為m＞$\frac{cosθ-2}{1-sinθ}$，
設(shè)t=$\frac{cosθ-2}{1-sinθ}$，
則tsinθ+cosθ=t+2，
則sin（θ+t）=$\frac{t+2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$，
∵|sin（θ+t）|=|$\frac{t+2}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$|≤1，
∴t≤-$\frac{3}{4}$
則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＞-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法以及三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．