Question

8．函數(shù)y=log₃x+$\frac{1}{{{{log}_3}x}}$-1的值域是（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（1，+∞）
• B． （-∞，-3]∪[1，+∞）
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 令t=log₃x（t≠0），然后分t＞0和t＜0分類利用基本不等式求得函數(shù)的值域．

解答 解：令t=log₃x（t≠0），
則原函數(shù)化為y=$t+\frac{1}{t}-1$，
當t＞0時，y=$t+\frac{1}{t}-1$$≥2\sqrt{t•\frac{1}{t}}-1=1$，當且僅當t=1，即x=3時，“=”成立；
當t＜0時，y=$t+\frac{1}{t}-1$=-（-t+$\frac{1}{-t}$）-1≤$2\sqrt{-t•\frac{1}{-t}}-1≤-3$，當且僅當t=-1，即x=$\frac{1}{3}$時，“=”成立．
∴函數(shù)y=log₃x+$\frac{1}{{{{log}_3}x}}$-1的值域是（-∞，-3]∪[1，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的值域及其求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．