Question

已知函數(shù)f（x）=e^x•（ax²+bx+c）滿足f(1)=-

1

2

a•e，且3a＞2c≥2b，其中e為自然對數(shù)的底，試求證：
（Ⅰ）ab＜0，且-

3

4

≤

c

a

＜

3

2

（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可得3a+2b+2c=0，利用3a＞2c≥2b，經(jīng)過推理、變形，利用不等式的性質(zhì)即可證得ab＜0，-

3

4

≤

c

a

＜

3

2

；
（Ⅱ）令g（x）=ax²+bx+c，可求得g（0）=c，g（2）=a-c，通過對c的取值情況的分析，利用零點(diǎn)存在定理即可證得函數(shù)f（x）=e^x•（ax²+bx+c）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．

解答：證明：（Ⅰ）∵f（1）=e¹（a+b+c）=-

1

2

a•e，
∴a+b+c=-

1

2

a，
∴3a+2b+2c=0，
∵3a＞2c≥2b，①
∴3a＞0，2b＜0，且3a+2c+2c≥0，
∴a＞0，b＜0，且3a≥-4c，
∴ab＜0，a≥-

3

4

，②
∵a＞0，由①得

c

a

＜

3

2

，③
∴由②③得：-

3

4

≤

c

a

＜

3

2

．
（Ⅱ）∵f（x）=e^x（ax²+bx+c），令g（x）=ax²+bx+c，
∵g（0）=c，3a+2b+2c=0，
∴g（2）=（4a+2b+c）=（3a+2b+2c）+（a-c）=a-c，
∵3a＞2c，即

3a

2

＞c，且a＞0，
∴當(dāng)0＜a＜c＜

3a

2

時，g（0）=c＞0，g（2）=a-c＜0，在（0，2）間必有零點(diǎn)，從而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）間必有零點(diǎn)；
當(dāng)0＜c＜a時，由于函數(shù)y=g（x）的對稱軸x=-

b

2a

=

3a+2c

2a

∈（

5

4

，

3

2

）?（0，2）內(nèi)，
△=b²-4ac=(-

3a+2c

2

)2-4ac=

9a2+12ac+4c2-16ac

4

=

9a2-4ac+4c2

4

=

9(a- 2 3 c)2

4

≥0，
∴原方程一定與x軸有交點(diǎn)，又g（0）＞0，g（2）＞0，可知這個交點(diǎn)一定在（0，2）間，即g（x）在（0，2）間必有零點(diǎn)，從而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）間必有零點(diǎn)；
當(dāng)c=0時，g（0）=0，g（2）=4a+2b=4a-3a-2c=a-2c=a＞0，同理可得函數(shù)y=g（x）的對稱軸x=-

b

2a

=

3a+2c

2a

=

3

2

∈（0，2）內(nèi)，g（x）在（0，2）間必有零點(diǎn)，從而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）間必有零點(diǎn)；
當(dāng)c＜0時，g（0）=c＜0，g（2）=a-c＞0，由零點(diǎn)存在定理知，g（x）在（0，2）間必有零點(diǎn)，從而f（x）=e^x（ax²+bx+c）在（0，2）間必有零點(diǎn)；
綜上所述，函數(shù)f（x）=e^x•（ax²+bx+c）在（0，2）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，著重考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想、方程與根的分布，對c的范圍的討論是難點(diǎn)，屬于難題．