Question

【題目】已知f（x）=ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然對數(shù)的底．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2﹣2lnx，x∈（0，e]，

∴f′（x）=2ax﹣ = ，

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，∴f′（1）=0，解得a=1；

當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）= 在（0，1）上小于0，∴f（x）是減函數(shù)，

f′（x）= 在（1，e]上大于0，∴f（x）是增函數(shù)，

∴f（1）是函數(shù)的極小值，此時(shí)a的值為1；

（2）解：∵f′（x）=2ax﹣ = ，x∈（0，e]，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是減函數(shù)，∴（0，e]是單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，則 =0，∴ax2﹣1=0，解得x= ，

①若a＞ ，則f′（x）在（0， ）上小于0，f（x）是減函數(shù)，∴（0， ）是單調(diào)減區(qū)間；

f′（x）在（ ，e]上大于0，f（x）是增函數(shù)，∴（ ，e]是單調(diào)增區(qū)間；

②若a≤ ，則f′（x）在（0，e]上小于0，f（x）是減函數(shù)，∴（0，e]是單調(diào)減區(qū)間；

綜上，當(dāng)a≤ 時(shí)，（0，e]是f（x）的單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)a＞ 時(shí)，（0， ）是f（x）的單調(diào)減區(qū)間，（ ，e]是f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

【解析】（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，即f′（1）=0，從而求得a的值；（2）求出f′（x），其中x∈（0，e]，討論f′（x）在a＞0、a≤0時(shí)，是否大于0？小于0？從而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．