Question

已知函數(shù)f（x）=2|x-2|-x+5
（1）求函數(shù)f（x）的最小值m
（2）在（1）的結(jié)論下，若不等式|x-a|+|x+2|≥m恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用絕對值的意義化簡函數(shù)，確定單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最小值m
（2）由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，等號當(dāng)且僅當(dāng)（x-a）（x+2）≤0時成立，故欲使題意成立需|a+2|≥3，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=2|x-2|-x+5=

x+1(x≥2) -3x+9(x＜2)

顯然，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的最小值m=f（2）=3              …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知m=3，|x-a|+|x+2|≥3恒成立，
由于|x-a|+|x+2|≥|（x-a）-（x+2）|=|a+2|，
等號當(dāng)且僅當(dāng)（x-a）（x+2）≤0時成立，
故欲使題意成立需|a+2|≥3，解之得a≥1或a≤-5
所以實數(shù)a的取值范圍為得a≥1或a≤-5．             …（10分）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查絕對值的意義，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．