Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x≤1\\{x^2}-6x+7，x＞1\end{array}\right.$（a＞0，a≠1），若函數(shù)y=|f（x）|-ax有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有3個交點，求得直線y=ax和曲線相切的情況，討論0＜a＜1和1＜a＜2，a=2，a＞2，畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，通過圖象觀察，即可得到所求a的范圍．

解答 解：函數(shù)y=|f（x）|-ax有三個零點，
即為函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有3個交點，
當0＜a＜1時，畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，（如右圖），
當直線y=ax繞著原點，旋轉(zhuǎn)到與y=-x²+6x-7（2＜x＜4）相切，
設(shè)切點為（m，n），可得n=am=-m²+6m-7，
且a=-2m+6，解得m=$\sqrt{7}$，a=6-2$\sqrt{7}$，
由圖象可得當0＜a＜6-2$\sqrt{7}$時，函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有5個交點；
當a=6-2$\sqrt{7}$時，函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有4個交點；
當6-2$\sqrt{7}$＜a＜1時，函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有3個交點；
由x=1時，y=|f（1）|=a，如右下圖，
當1＜a＜2時，函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有3個交點；
當a=2時，函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有2個交點；
當a＞2時，函數(shù)y=|f（x）|的圖象和直線y=ax有1個交點．
綜上可得，a的取值范圍是（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．
故答案為：（6-2$\sqrt{7}$，1）∪（1，2）．

點評 本題考查函數(shù)零點的個數(shù)問題的解法，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為直線和曲線的交點是解題的關(guān)鍵，屬于難題．