Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 若$x∈[0，\;\frac{π}{2}]$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），易得最小正周期，解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$可得増區(qū)間；
（Ⅱ）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$可得$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$，由三角函數(shù)的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$可得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的増區(qū)間為$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$；
（Ⅱ）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{8}$時(shí)，f（x）取最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}$，
當(dāng)$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$即$x=\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取最小值$f{（x）_{min}}=f（\frac{π}{2}）=-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．