Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{3}$，則不等式f（lgx）＞$\frac{lgx+2}{3}$的解集為（0，10）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件$f′（x）-\frac{1}{3}＜0$，從而得出函數(shù)$F（x）=f（x）-\frac{x+2}{3}$在R上為減函數(shù)，并可得出F（1）=0，這樣根據(jù)不等式$f（lgx）＞\frac{lgx+2}{3}$即可得到F（lgx）＞F（1），從而根據(jù)F（x）和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出不等式F（lgx）＞F（1）的解集，即得出原不等式的解集．

解答 解：∵f′（x）＜$\frac{1}{3}$；
∴$f′（x）-\frac{1}{3}＜0$；
∴$f（x）-\frac{x+2}{3}$在R上為減函數(shù)；
設(shè)$F（x）=f（x）-\frac{x+2}{3}$，則F（x）在R上為減函數(shù)；
∵f（1）=1；
∴F（1）=f（1）-1=1-1=0；
由$f（lgx）＞\frac{lgx+2}{3}$得，$f（lgx）-\frac{lgx+2}{3}＞0$；
∴F（lgx）＞F（1）；
∵F（x）在R上單調(diào)遞減；
∴l(xiāng)gx＜1；
∴0＜x＜10；
∴原不等式的解集為（0，10）．
故答案為：（0，10）．

點評 考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．