Question

12．
如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）設$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，異面直線AC₁與CD所成角的余弦值為$\frac{{9\sqrt{10}}}{50}$，求λ的值；
（2）若點D是AB的中點，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出λ的值．
（2）求出平面CDB₁的法向量和面CDB₁的一個法向量，利用向量法能求出二面角D-CB₁-B的余弦值．

解答 解：（1）由AC=3，BC=4，AB=5，得∠ACB=90°…（1分）
以CA、CB、CC₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），
設D（x，y，z），則由$\overrightarrow{AD}=λ\overrightarrow{AB}$，得$\overrightarrow{CD}=（3-3λ，4λ，0）$，
而$\overrightarrow{A{C_1}}=（-3，0，4）$，
根據(jù)$\frac{{9\sqrt{10}}}{50}=|\frac{-9+9λ}{{5\sqrt{25{λ^2}-18λ+9}}}|$，解得，$λ=\frac{1}{5}$或$λ=-\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）$\overrightarrow{CD}=（\frac{3}{2}，2，0），\overrightarrow{C{B_1}}=（0，4，4）$，
設平面CDB₁的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+4z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得面CDB₁的一個法向量為$\overrightarrow{n_1}=（4，-3，3）$，…（7分）
而平面CBB₁的一個法向量為$\overrightarrow{n_2}=（1，0，0）$，
并且$＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞$與二面角D-CB₁-B相等，
所以二面角D-CB₁-B的余弦值為$cosθ=cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{2}{17}\sqrt{34}$．　…（10分）
（第（1）題中少一解扣（1分）；沒有交代建立直角坐標系過程扣（1分）．第（2）題如果結(jié)果相差符號扣（1分）．）

點評 本題考查滿足異面直線所成余弦值的實數(shù)值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．