Question

14．已知函數(shù)$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}）{x^3}$（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）求a的取值范圍，使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用a^x-1≠0即可求得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）由$f（x）=（\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}）{x^3}$可推知f（-x）=f（x），從而可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（3）利用（1）知f（x）為偶函數(shù)，可知當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x³＞0，從而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立，只需當(dāng)a＞1時(shí)即可．

解答 解：（1）定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
（2）$f（-x）=（\frac{1}{{{a^{-x}}-1}}+\frac{1}{2}）{（-x）^3}$=$-（\frac{a^x}{{1-{a^x}}}+\frac{1}{2}）{x^3}$=$-\frac{{（{a^x}+1）{x^3}}}{{2（1-{a^x}）}}=\frac{{（{a^x}+1）{x^3}}}{{2（{a^x}-1）}}=f（x）$，
∴f（x）是偶函數(shù)．
（3）∵函數(shù)f（x）在定義域上是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=f（2x）在定義域上也是偶函數(shù)，
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）+f（2x）＞0可滿足題意，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，x³＞0，
∴只需$\frac{1}{{{a^x}-1}}+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{{（{a^x}）}^2}-1}}+\frac{1}{2}＞0$，即$\frac{{{a^{2x}}+{a^x}+1}}{{{{（{a^x}）}^2}-1}}＞0$，
∵a^2x+a^x+1＞0，
∴（a^x）²-1＞0，解得a＞1，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）+f（2x）＞0在定義域上恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查函數(shù)奇偶性的運(yùn)用，突出轉(zhuǎn)化思想與分析法的應(yīng)用，屬于難題．