Question

9．在△ABC中，若3AB=2AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，則$\frac{BE}{CF}$的取值范圍為（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）．

Answer 1

分析 設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，利用中線長定理可得c²+a²=2BE²+$\frac{^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，由于3c=2b．可得$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7^{2}}{9}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，利用三角形三邊大小關(guān)系可得：a＜b+c，且a+c＞b，即可得出．

解答 解：設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，
∵E、F分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴c²+a²=2BE²+$\frac{^{2}}{2}$，b²+a²=2CF²+$\frac{{c}^{2}}{2}$，
∵3AB=2AC，即3c=2b．
∴2BE²=a²-$\frac{^{2}}{18}$，
2CF²=a²+$\frac{7^{2}}{9}$．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-\frac{^{2}}{18}}{{a}^{2}+\frac{7^{2}}{9}}$=$\frac{18-（\frac{a}）^{2}}{18+14（\frac{a}）^{2}}$=$\frac{135}{126+98（\frac{a}）^{2}}$-$\frac{1}{14}$，
∵a＜b+c，且a+c＞b，
∴$\frac{a}$＞$\frac{3}{5}$，且$\frac{a}$＜3．
∴$\frac{9}{25}$＜（$\frac{a}$）²＜9．
∴$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$∈（$\frac{1}{16}$，$\frac{49}{64}$）．
∴$\frac{BE}{CF}$∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）．
故答案為：（$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了余弦定理、中線長定理、三角形三邊大小關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．