Question

2．如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為BC的圓O，過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線(xiàn)交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，∠CAB的角平分線(xiàn)AE交BC和圓O于點(diǎn)D、E，且PA=2PB=10．
（1）求$\frac{AC}{AB}$的比值；
（2）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)說(shuō)明△ABP～△CAP，然后求解$\frac{AC}{AB}$的比值．
（2）由切割線(xiàn)定理求出PC=20，通過(guò)AE為∠CAB的角平分線(xiàn)，求出CD=10，DB=5，通過(guò)相交弦定理求解即可．

解答 解：（1）∵PA是圓O的切線(xiàn)，∴∠PAB=∠ACB，
又∠P是公共角，∴△ABP～△CAP，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}=2$．
（2）由切割線(xiàn)定理得：PA²=PB•PC，∴PC=20，
又PB=5，∴BC=15，AE為∠CAB的角平分線(xiàn)，
∵$\frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB}=2$，∴CD=2DB，CD+DB=15，∴CD=10，DB=5，
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似，切割線(xiàn)定理，交點(diǎn)平分線(xiàn)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．