Question

14．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁、F分別是棱AD、AA₁、AB的中點．
（1）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（2）求直線FC₁與平面B₁BCC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）如圖所示，取A₁B₁的中點M，連接MF，MC₁．利用平行四邊形的判定圖性質(zhì)定理可得：CF∥AD，于是CF∥平面ADD₁A₁，同理可得MF∥平面ADD₁A₁．因此平面CFMC₁∥平面ADD₁A₁，即可證明EE₁∥平面FCC₁．
（Ⅱ）取BC的中點P，連接FP，C₁P．由FB=FC=2=BC，可得FP⊥BC，F(xiàn)P=$\sqrt{3}$．利用直棱柱與面面垂直的性質(zhì)定理可得：FP⊥平面BCC₁B₁．因此∠FC₁P是直線FC₁與平面B₁BCC₁所成角．再利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：如圖所示，取A₁B₁的中點M，連接MF，MC₁．
∵$DC\underset{∥}{=}$AF，∴四邊形AFCD是平行四邊形，∴CF∥AD，
又CF?平面ADD₁A₁，AD?平面ADD₁A₁，
∴CF∥平面ADD₁A₁，
同理可得MF∥AA₁．MF∥平面ADD₁A₁．
又MF∩CF=F．
∴平面CFMC₁∥平面ADD₁A₁，又EE₁?平面ADD₁A₁，
∴直線EE₁∥平面FCC₁．
（Ⅱ）解：取BC的中點P，連接FP，C₁P．
∵FB=FC=2=BC，∴FP⊥BC，F(xiàn)P=$\sqrt{3}$．
∵平面BCC₁B₁⊥平面ABCD，平面BCC₁B₁∩平面ABCD=BC，
∴FP⊥平面BCC₁B₁．
∴∠FC₁P是直線FC₁與平面B₁BCC₁所成角．
在RT△FCC₁中，CF₁=2$\sqrt{2}$．
在RT△FPC₁中，sin∠FC₁P=$\frac{FP}{C{F}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．

點評 本題考查了空間位置關系、空間角、線面面面平行與垂直的判定性質(zhì)定理、直角三角形的邊角關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．