Question

10．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（α，sinB+sinC），$\overrightarrow{n}$=（sinA，b-c）且$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=bsinA
（1）求角C；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a+2b的最大值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=bsinA，利用數(shù)量積運(yùn)算及其正弦定理、余弦定理即可得出，
（2）由余弦定理3²=a²+c²-ac，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=asinA+（sinB+sinC）（b-c）=bsinA，
即：由正弦定理可知，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
a²+（b+c）（b-c）=ba，
整理得：c²=a²+b²-ab，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
cosC=$\frac{1}{2}$，
C=$\frac{π}{3}$；
（2）3=c²=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴ab≤3，
a+2b≤2$\sqrt{a•2b}$=2$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=$\sqrt{6}$，
故a+2b的最大值2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理與余弦定理的應(yīng)用、基本不等式的性質(zhì)、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．