【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對于任意,存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立.
【答案】(1)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù);(2);(3)證明見解析
【解析】
(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).可得當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),令求得值,把定義域分段,由導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號,可得原函數(shù)的單調(diào)性;
(2)由恒成立,通過分離參數(shù)法,轉(zhuǎn)化成不等式恒成立,設(shè),通過導(dǎo)函數(shù)求出的單調(diào)性,進(jìn)而得出的最大值,即可求出a的取值范圍;
(3)由(1)可知當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),再分類討論:①當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),,此時(shí)取;②當(dāng)時(shí),構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性,可得出時(shí),,此時(shí)取,綜合兩種情況,即可證明出.
解:(1),,
①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上為減函數(shù);
②當(dāng)時(shí),由,得,由,得;
由,得,
所以在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
(2)由得,,即不等式,恒成立,
記,則,由得,;
由得,;由得,.
所以在為增函數(shù),在上為減函數(shù),
所以,所以.
(3)證明:由(1)知,
當(dāng)時(shí),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).
①當(dāng),即時(shí),因?yàn)?/span>在上為增函數(shù),
又,所以,當(dāng)時(shí),,此時(shí)取.
②當(dāng),即時(shí),
因?yàn)?/span>,所以,
,令,,則上式,
記,,則,
所以在上為增函數(shù),所以,即,
因?yàn)?/span>在上為增函數(shù),且,
所以當(dāng)時(shí),,此時(shí)取.
綜上,對于任意,存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球,c個(gè)藍(lán)球,且規(guī)定:取出一個(gè)紅球得1分,取出一個(gè)黃球2分,取出藍(lán)球得3分.
(1)當(dāng)a=3,b=2,c=1時(shí),從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球,記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和.,求ξ分布列;
(2)從該袋子中任。ㄇ颐壳蛉〉降臋C(jī)會(huì)均等)1個(gè)球,記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù).若,求a:b:c.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),直線.
(Ⅰ)求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)求證:對于任意,直線都不是曲線的切線;
(Ⅲ)試確定曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù),0≤α<π).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程.并說明曲線C的形狀;
(2)若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(1,0)且與曲線C交于A、B兩點(diǎn),求|AB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)若函數(shù)存在5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,已知,,,.是線段的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)求二面角的大小的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,頂點(diǎn)P在底面的投影恰為正方形ABCD的中心且,設(shè)點(diǎn)M,N分別為線段PD,PO上的動(dòng)點(diǎn),已知當(dāng)取得最小值時(shí),動(dòng)點(diǎn)M恰為PD的中點(diǎn),則該四棱錐的外接球的表面積為____________.
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點(diǎn),點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn),點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上.若(為原點(diǎn)),且,求直線的斜率.
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