【題目】設(shè)橢圓的左焦點為,上頂點為.已知橢圓的短軸長為4,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)點在橢圓上,且異于橢圓的上、下頂點,點為直線與軸的交點,點在軸的負(fù)半軸上.若(為原點),且,求直線的斜率.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)或.
【解析】
(Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程,解方程可得橢圓方程;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標(biāo),從而可得OP的斜率,然后利用斜率公式可得MN的斜率表達(dá)式,最后利用直線垂直的充分必要條件得到關(guān)于斜率的方程,解方程可得直線的斜率.
(Ⅰ) 設(shè)橢圓的半焦距為,依題意,,又,可得,b=2,c=1.
所以,橢圓方程為.
(Ⅱ)由題意,設(shè).設(shè)直線的斜率為,
又,則直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,
整理得,可得,
代入得,
進(jìn)而直線的斜率,
在中,令,得.
由題意得,所以直線的斜率為.
由,得,
化簡得,從而.
所以,直線的斜率為或.
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【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若不等式恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)求證:對于任意,存在實數(shù),當(dāng)時,恒成立.
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【題目】已知某個機(jī)械零件是由兩個有公共底面的圓錐組成的,且這兩個圓錐有公共點的母線互相垂直,把這個機(jī)械零件打磨成球形,該球的半徑最大為1,設(shè)這兩個圓錐的高分別為,則的最小值為__________.
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【題目】已知是橢圓與拋物線的一個公共點,且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點.
(1)求橢圓及拋物線的方程;
(2)設(shè)過且互相垂直的兩動直線,與橢圓交于兩點,與拋物線交于兩點,求四邊形面積的最小值
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【題目】若函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿足f(1+x)=f(1-x)且x∈[-1,1]時,f(x)=1-x2,函數(shù)g(x)=則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]內(nèi)的零點的個數(shù)為
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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【題目】已知, 為兩條不同的直線, , 為兩個不同的平面,對于下列四個命題:
①, , , ②,
③, , ④,
其中正確命題的個數(shù)有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.
(1)求通項公式an;
(2)求數(shù)列{|an-n-2|}的前n項和.
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【題目】下列命題中,正確的個數(shù)是( )
①直線上有兩個點到平面的距離相等,則這條直線和這個平面平行;
②為異面直線,則過且與平行的平面有且僅有一個;
③直四棱柱是直平行六面體;
④兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐.
A.0B.1C.2D.3
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【題目】已知橢圓的左、右焦點為、,,若圓Q方程,且圓心Q在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線交橢圓于A、B兩點,過直線上一動點P作與垂直的直線交圓Q于C、D兩點,M為弦CD中點,的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明你的理由.
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