Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)與其短軸得一個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與軸， 軸分別相交于點(diǎn)合點(diǎn)，且，點(diǎn)時(shí)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)， 的延長(zhǎng)線交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)分別做軸的垂線，垂足分別為.

（1） 求橢圓的方程；

（2）是否存在直線，使得點(diǎn)平分線段？若存在，請(qǐng)求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）;（2）存在直線的方程為或.

【解析】試題分析: (1)由正三角形的高與邊長(zhǎng)的關(guān)系可求出,再由點(diǎn) 在橢圓上,可求出 的值,從而求出橢圓方程; (2)假設(shè)存在,由直線方程可求出 點(diǎn)的坐標(biāo),由已知條件可求出 點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去 ,得到關(guān)于 的一元二次方程,由韋達(dá)定理可求出 的表達(dá)式以及直線 的斜率,聯(lián)立直線與橢圓方程,可求出的表達(dá)式,進(jìn)而求出的表達(dá)式, 由平分線段，求出的值,得出直線方程.

試題解析:（1）由題意知，即， ，即,

∵在橢圓上，∴，

所以橢圓方程為.

（2）存在

設(shè)，∵

∴,

∴①

∴，

聯(lián)立 ∴②

∴

∴

∴

若平分線段，則

即， ， ∴

∵ 把①，②代入，得

所以直線的方程為或

點(diǎn)睛:本題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.第一問求橢圓方程很容易,大部分學(xué)生能做對(duì); 在第二問中,假設(shè)存在, 當(dāng)點(diǎn)平分線段, 點(diǎn)為的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出的值,得出直線方程.注意本題涉及的點(diǎn)線位置關(guān)系比較復(fù)雜,容易弄錯(cuò).