Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，
∠ADC=90°，AD=2BC，Q為AD的中點(diǎn)，M為棱PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：PA∥平面BMQ；
（Ⅱ）已知PD=DC=AD=2，求點(diǎn)P到平面BMQ的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN，只要證明MN∥PA，利用線面平行的判定定理可證；
（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以點(diǎn)P到平面BMQ的距離等于點(diǎn)A到平面BMQ的距離．

解答： 解：（1）連結(jié)AC交BQ于N，連結(jié)MN，因?yàn)椤螦DC=90°，Q為AD的中點(diǎn)，所以N為AC的中點(diǎn)．…（2分）
當(dāng)M為PC的中點(diǎn)，即PM=MC時(shí)，MN為△PAC的中位線，
故MN∥PA，又MN?平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（5分）
（2）由（1）可知，PA∥平面BMQ，所以點(diǎn)P到平面BMQ的距離等于點(diǎn)A到平面BMQ的距離，所以V_P-BMQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ，
取CD的中點(diǎn)K，連結(jié)MK，所以MK∥PD，MK=

1

2

PD=1，…（7分）
又PA⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD．
又BC=

1

2

AD=1，PD=CD=2，所以AQ=1，BQ=2，MQ=

3

，NQ=1，…（10分）
所以V_P-BMQ=V_A-BMQ=V_M-ABQ=

1

3

•

1

2

•AQ•BQ•MK=

1

3

.S△BQM=

2

，…（11分）
則點(diǎn)P到平面BMQ的距離d=

3VP-BMQ

S△BMQ

=

2

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理的運(yùn)用以及利用三棱錐的體積求點(diǎn)到直線的距離．